Am de calculat \[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {x - \frac{{{x^3}}}{6} - \sin x} \right).\]
Imi dă că limita este egală cu \( - \infty + \infty - \sin x\) dar cum pot eu sa il exprim pe sinx in acest caz?
Am inteles ca functia sinus are valori cuprinse intre -1 si 1 pentru ca sin e o functie periodica.
Problema face parte din Varianta 30, propusă pentru Bacalaureat 2009.
limita cu sinx spre - infinit
Re: limita cu sinx spre - infinit
Ai remarcat bine faptul că sinx este functie mărginită și după cum vei vedea mai jos, asta va fi de ajutor in stabilirea limitei.
Problema ta principală este că nu stii să calculezi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {x - \frac{{{x^3}}}{6}} \right)\), observâmd (corect) că ai nedeterminare \( - \infty + \infty \).
Poti folosi următoarea regulă:
Limita spre \( + \infty \) sau \( - \infty \) a unei functii polinomiale este egală cu limita termenului dominant
\[ \boxed{{\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left( {{a_n}{x^n} + {a_{n - 1}}{x^{n - 1}} + .... + {a_1}x + {a_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {a_n}{x^n}}} \]
Asadar \[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {x - \frac{{{x^3}}}{6}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( { - \frac{{{x^3}}}{6}} \right) = + \infty \]
In final, mai folosim o regulă:
Dacă functia f(x) are limită infinită iar functia g(x) este mărginită, atunci limita sumei (f(x)+g(x)) este chiar limita functiei f(x).
Asadar
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \underbrace {x - \frac{{{x^3}}}{6}}_{ + \infty } - \underbrace {\sin x}_{{\rm{marginita}}} = + \infty .\]
Problema ta principală este că nu stii să calculezi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {x - \frac{{{x^3}}}{6}} \right)\), observâmd (corect) că ai nedeterminare \( - \infty + \infty \).
Poti folosi următoarea regulă:
Limita spre \( + \infty \) sau \( - \infty \) a unei functii polinomiale este egală cu limita termenului dominant
\[ \boxed{{\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left( {{a_n}{x^n} + {a_{n - 1}}{x^{n - 1}} + .... + {a_1}x + {a_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {a_n}{x^n}}} \]
Asadar \[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {x - \frac{{{x^3}}}{6}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( { - \frac{{{x^3}}}{6}} \right) = + \infty \]
In final, mai folosim o regulă:
Dacă functia f(x) are limită infinită iar functia g(x) este mărginită, atunci limita sumei (f(x)+g(x)) este chiar limita functiei f(x).
Asadar
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \underbrace {x - \frac{{{x^3}}}{6}}_{ + \infty } - \underbrace {\sin x}_{{\rm{marginita}}} = + \infty .\]